Ecuaciones diferenciales y variable compleja : problemas y ejercicios resueltos /
Julián López Gómez
- Madrid, España : Pearson Educación, 2002
- xiii, 404 páginas ; tablas ; cuadros ; 27 cm
- ( Prentice práctica ) .
Incluye índice.
Incluye bibliografía.
Tabla de contenidos Índice INDICE GENERAL PRÓLOGO CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.1. Los números complejos 1.2. Módulo y argumento 1.3. La función exponencial 1.4. El logaritmo complejo 1.5. Exponenciaciones complejas generales 1.6. Algunas otras funciones de variable compleja 1.7. El cuerpo complejo ampliado 1.8. Representación de funciones Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 2. DIFERENCIABILIDAD EN SENTIDO COMPLEJO 2.1. Preliminares 2.2. Diferenciabilidad compleja 2.3. Condiciones de Cauchy-Riemann 2.4. Concepto de holomorfía 2.5. Funciones armónicas 2.6. Teorema de la función inversa 2.7. Series de potencias Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 3. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY 3.1. Integración de funciones complejas de una variable real 3.2. Curvas y caminos orientados 3.3. Integración curvilínea 3.4. Teoría del índice 3.5. Teorema de Cauchy-Goursat 3.6. Fórmula integral de Cauchy 3.7. Analiticidad de las funciones holornorfas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 4. CEROSY SINGULARIDADES AISLADAS 4.1. Estructura de los ceros. Principio de identidad 4.2. Principio del módulo máximo 4.3. Clasificación de singularidades aisladas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 5. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL 5.1. Teorema de Cauchy global 5.2. Teorema de los residuos 5.3. Teorema de Laurent. Cálculo de residuos 5.4. Principio del argumento. Teorema de Rouché Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 6. TEORÍA ESPECTRAL 6.1. Elementos de teoría espectral. Teorema de Jordan 6.2. Teorema de Cayley-Hamilton 6.3. Construcción de la forma canónica de Jordan 6.4. Forma canónica real Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 7. CÁLCULO OPERACIONAL 7.1. Norma de un operador lineal 7.2. Introducción al cálculo operacional 7.3. El operador resol vente y la fórmula de Dunford 7.4. La exponencial de una matriz 7.5. Cálculo de exponenciales Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 8. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 8.1. Conceptos básicos 8.2. La ecuación lineal de primer orden 8.3. Sistemas de primer orden con coeficientes constantes 8.4. Ecuaciones lineales de orden superior 8.5. Construcción de bases de soluciones para sistemas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 9. EL PROBLEMA DE DIRICHLET 9.1. Resolución del problema. Teorema de Poisson 9.2. Principio del máximo. Unicidad de solución 9.3. Aproximación uniforme de funciones continuas 9.4. Convergencia puntual de series de Fourier 9.5. Convergencia L 2 de las series de Fourier 9.6. Problemas de autovalores 9.7. El espectro del Laplaciano en un disco Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE FOURIER-LAPLACE 10.1. La transformada de Fourier 10.2. Propiedades fundamentales 10.3. La transformada de Laplace 10.4. Fórmula de inversión Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos CAPÍTULO 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES 11.1. Algunas ecuaciones no lineales cuya integración se reduce a la de una lineal 11.2. Ecuaciones con variables separadas 11.3. Ecuaciones homogéneas 11.4. Ecuaciones reducibles a homogéneas 11.5. Factores integrantes: ecuaciones diferenciales exactas Ejercicios propuestos BIBLIOGRAFÍA ÍNDICE DE MATERIAS.
PROLOGO Este libro de problemas ha sido elaborado bajo propuesta del grupo Pearson Educación con el objetivo primario de proporcionar a los lectores la resolución de los ejercicios propuestos en el manual de Ecuacio nes diferenciales y variable compleja [17]. Algunos de esos ejercicios son de nivel ciertamente avanzado, escapándose, por méritos propios, de la clase de los meramente rutinarios que suelen encontrarse por doquier. Nos estamos refiriendo, por ejemplo, a los que conducen a la construcción de los proyectores espectrales a partir de la fórmula integral de Dunford en el capítulo 7 de [17], o la demostración deslaba zada del teorema de la aplicación abierta en el Capítulo 5. Evidentemente, si no estrictamente necesario, era bastante deseable, proporcionar a los lectores las respuestas a estas y otras muchas cuestiones. Por lo tanto, de entrada, el lector va a encontrar resueltos todos los ejercicios propuestos en [17]. Bueno, no todos. Todos excepto los del Capítulo 11, donde se construyó el grado topológico en el plano. He de decir que, siempre que me es posible, huyo de los ejemplos meramente académicos salvo que sea forzoso detenerse en su análisis, porque suelen carecer de la profundidad necesaria para que resulten de verdadero provecho a los estudiantes. Elaborar ejercicios no académicos donde el uso del grado topológico se haga indispensable para obtener resultados de existencia lleva aparejado un nivel de conocimientos sobre sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales que desborda ampliamente el marco de los tópicos tratados en [17] Y ampliados en el presente texto. Ese trabajo merece un tratamiento diferenciado que trataré de llevar a cabo en un texto de nivel más avanzado que tengo proyectado elaborar en un futuro próximo. A cambio, en el Capítulo 11 del presente texto, he incluido una breve introducción a las ecuaciones diferenciales no lineales abordando el estudio de los métodos clásicos de integración más paradigmáticos, así como algunas de sus aplicaciones al estudio de algunos prototipos de modelos deterministas en ecología. Básicamente, el lector va a encontrar el típico material archiconocido bajo la denominación de integración elemental, de tal manera que, ahora, el material de los cuatro últimos capítulos puede ser utilizado para impartir un curso introductorio de ecuaciones diferenciales ordinarias y/o ecuaciones en derivadas parciales cuyo nivel admite diferentes gradaciones. Aprovechando la oportunidad que me ha brindado el grupo PearsonEducación, no solo he incluido las resoluciones de los ejercicios propuestos en [17 J, sino que también y esto es fundamental para el éxito del presente texto he ampliado sustancialrnente algunos de los contenidos de [17] como, por ejemplo, los relativos a las ecuaciones de segundo orden lineales con coeficientes analíticos y a la existencia y estructura de su conjunto de soluciones analíticas. Así, por ejemplo, además de proporcionar la demos tración del teorema de Frobenius, que fue propuesta como ejercicio en [17], he aprovechado la ocasión para incluir la resolución completa de un nuevo ejercicio donde se estudia el oscilador armónico clásico de la mecánica cuántica el modelo más simple de ecuación de Schrodinger del que se dispone, de mostrando matemáticamente con todo lujo de detalles la cuantización de la energía del oscilador y, en definitiva, completando, adornando y ampliando substancial mente, los conocimientos que el lector va encontrar en la inmensa mayoría de los textos deecuaciones diferenciales que se encuentran en nuestr bibliotecas. Y lo que es más importante desde el punto de vista de la efectividad docente, proponiend de forma totalmente deslabazada la construcción de los estados de onda de la ecuación de Schroding del átomo de Hidrógeno, que, entre otras ecuaciones, involucra el estudio de las de Laguerre y Legendre Aunque, por razones obvias, esta estrategia es muy fructífera cuando se trabaja con estudiantes res pon sables que dedican tiempo y energía a la comprensión de la teoría y a la resolución y elaboración de I respuestas a las cuestiones y ejercicios que les son planteados incluso si no llegan a completar tod los detalles técnicos de las resoluciones; arte y maestría que sólo se van a lograr con la práctica y I madurez que proporcionan los años, somos plenamente conscientes que, a menos que tales ejercicio sean el objetivo de un laboratorio de matemáticas bajo la supervisión de un especialista, gran parte di los estudiantes no van a llegar a estar en condiciones de sacar un provecho óptimo de tales cuestiona teóricoprácticas avanzadas. Por ello, tratando de que este texto sea de utilidad a un estudiante ence rrado en su cuarto, hemos salpicado todo el libro con los típicos ejercicios mecánicos como dicen lo estudiantes, con números que el lector podrá encontrar en la gran mayoría de los textos de variabl compleja y/o ecuaciones diferenciales. Pero, aquí, quiero manifestar algo acerca de 10S""'ejercicios con números que el lector vaa encontrar e este libro. Aunque, ciertamente, la resolución de tales ejercicios es absolutamente necesaria para alcanz el dominio deseable de las técnicas estudiadas, hay que puntualizar que en muchas ocasiones se abusa di esta metodología extrapolándola a marcos en los que, lejos de ser eficiente, puede ser extrernadarnent contraproducente, Por ejemplo, aunque para dominar el uso de las técnicas de integración curvilínea ha) que calcular muchas integrales, y en este libro, además de resolver lasque aparecen en r 171, vamos a pn poner muchas más, no es menos cierto que extrapolar mutatis mutandis esta metodología para resolv toda una gama de problemas de valores iniciales para ecuaciones de segundo orden esconde escandalosa mente a los estudiantes de nuestras Escuelas Técnicas y Facultades de Ciencias la versatilidad inherent al uso de los métodos operacionales a la hora de resolver ecuaciones y sistemas lineales. En efecto, exis ten fórmulas generales para representar las soluciones de tales problemas; fórmulas que, aunque se le escondan a los estudiantes, debieran estar a su disposición, siendo inadmisible, desde nuestro punto d vista, que únicamente se les resuelvan toda una gama de ejemplos meramente académicos donde el s cambia por t el, y después por cos t, Y luego por sen t + e21, y así una semana tras otra. Y esto es así precisamente en una época en que la cantidad de información de la que hemos de hacer acopio ha creci do exponencialmente respecto de la que era estrictamentenecesaria para nuestros padres los abuel de los lectores más jovenes, en la que, por lo tanto, todo esfuerzo por tratar de ti ltrar la información optimizando simultáneamente su calidad, nos tememos que se va a quedar corto si queremos alcanzare nivel de competitividad requerida para sobrevivir independientemente. Concretamente, las líneas generales metodológicas que he adoptado en la elaboración de este text son las siguientes: Resolución de gran cantidad y variedad de ejemplos con números cuandoel tema lo requiere, par¡ adquirir destreza de cálculo; por ejemplo, en la resolución de integrales utilizando la fórmula d los residuos. Resolución de cuestiones de naturaleza eminentemente teórica con las que, una vez adquirida I maestría de cálculo pertinente, se profundizará en los conocimientos adquiridos afianzándolos de finitivamente. Resolución de cuestiones teóricoprácticas más avanzadas, propuestas deslabazadarnente, con I que los buenos estudiantes pueden evaluar por sí mismos elgrado de destreza adquirido; cuestione que, bajo la supervisión de un tutor, constituyen excelentes prácticas de laboratorio matemático pa todos los estudiantes. Entre ellas, se cuentan el estudio del fenómeno de cuantización de la energí del átomo de Hidrógeno, las caracterizaciones variacionales de CourantFischer de los autovalon de una matriz hermítica, o el comportamiento oscilatorio de las soluciones positivas del model clásico de presa y depredador de Volterra. Estudio de aplicaciones de entidad científica con el objetivo de que todos los estudiantes de nuestra Escuelas Técnicas y Facultades, y no sólo los de las Facultades de Físicas y Matemáticas, amplie sus horizontes adquiriendo un cierto cúmulo de aparataje matemático que, de forma muy fructffen les va a permitir comprender mucho mejor algunas de las fenomenologías propias de su disciplina científica favorita. Por ejemplo, con este texto los estudiantes de las Facultades e Ingenierías de Ciencias Químicas van a tener ocasión de estudiar latransformada de Laplace y de utilizarla para resolver algunos problemas de adsorción en lecho fijo a bajas concentraciones de sorbato como sucede en los procesos industriales de purificación de antibióticos ,BIactámicos y no únicamente para resolver la gama de consabidos ejemplos académicos. Cada capítulo, excepto el décimoprimero, consta de tres partes diferenciadas. En la primera se incluye un breve resumen sobre la teoría que se va a poner en funcionamiento en el planteamiento y resolución delos ejercicios. En la segunda parte se proponen y resJ"elven gran cantidad de problemas de toda índole, como hemos explicado más arriba, y, finalmente, se proporciona una lista de ejercicios para que los estudiantes, por sí mismos, puedan evaluar el nivel de destreza alcanzado. Los lectores que, por cualquier causa, deseen ponerse en contacto con el autor lo pueden hacer en la dirección electrónica Lopez_Gomez@mat. ucm. es; entre ellas muy bien podría tratarse del apercibimiento de la eventual existencia de algún error/errata en la redacción y/o resolución de los ejercicios. No me alargo más, dejo que el lector navegue libremente por las páginas de este esmerado volumen que ha preparado el grupo Pearson, sin dejar de agradecer a todo su equipo editorial por el excelente trabajo efectuado en su preparación y, muy especialmente, a mi editora, Isabel Capella, por la confianza que depositó en mi trabajo desde aquel 20 de febrero de 2000 en que aparecí por vez primera por las oficinas comerciales del Grupo en Madrid con el manuscrito de [17] debajo del brazo. Deseo fervientemente que este texto sea de utilidad al lector y, siendo plenamente consciente de que es uno más, y de que, como casi todos, es un excelente complemento para cualquier libro de texto, simultáneamente merezca entrar a formar parte del selecto grupo de libros que facilitan a los lectores la visualización de nuevos horizontes contribuyendo a regenerar y refrescar los contenidos clásicos que se han venido impartiendo durante, sin exagerar, siglo y medio. Pensemos en ello detenidamente y demos tiempo al tiempo. Madrid, a 20 de julio de 200 I Julián López Gómez.
8420531022
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